Question

15．已知函數(shù)f（x）的定義域為[-2，6]，x與f（x）部分對應值如表，f（x）的導函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示．

x	-2	0	5	6
f（x）	3	-2	-2	3

下列結論：
①函數(shù)f（x）在（0，3）上是增函數(shù)；
②曲線y=f（x）在x=4處的切線可能與y軸垂直；
③如果當x∈[-2，t]時，f（x）的最小值是-2，那么t的最大值為5；
④?x₁，x₂∈[-2，6]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a恒成立，則實數(shù)a的最小值是5，其中正確結論的個數(shù)是（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 由圖象得出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，畫出函數(shù)的大致圖象，從而得出答案．

解答 解：由函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x）的圖象得：
x∈[-2，0]時，f′（x）＜0，f（x）遞減，-2≤f（x）≤3，
x∈[0，3）時，f′（x））＞0，f（x）遞增，f（x）≥-2，
x∈（3，5）時，f′（x）＜0，f（x）遞減，f（x）≥-2，
x∈[5，6]時，f′（x）＞0，f（x）遞增，-2≤f（x）≤3，
由此判斷①正確，②錯誤，③t的最大值可以為6，③錯誤；
④根據(jù)題意畫出函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，
則?x₁，x₂∈[-2，6]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a恒成立，此時a的最小值是不是5，④錯誤．
綜上，以上正確的結論是①，只有1個．
故選：A．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的應用問題，滲透了數(shù)形結合思想，是基礎題．