Question

10．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為，$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位），且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=4sinθ．
（1）求圓C的圓心到直線l的距離；
（2）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，P（$\sqrt{3}$，2），求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程為，$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程．圓C的方程為ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ．可得直角坐標(biāo)方程，配方可得圓心C．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓C的圓心到直線l的距離．
（2）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入圓C方程可得：t²+$\sqrt{3}$t-1=0，利用|PA|•|PB|=|t₁t₂|及其根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為，$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程：$\sqrt{3}$x-y-1=0．
圓C的方程為ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ．可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=4y，配方為：x²+（y-2）²=4．
可得圓心C（0，2）．
∴圓C的圓心到直線l的距離d=$\frac{|0-2-1|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{3}{2}$．
（2）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入圓C方程可得：t²+$\sqrt{3}$t-1=0，
可得t₁t₂=-1，∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．