Question

(本小題滿(mǎn)分13分)如圖，在直三棱柱ABC—中， AB = 1,；點(diǎn)D、E分別在上，且，四棱錐與直三棱柱的體積之比為3：5。

（1）求異面直線(xiàn)DE與的距離；(8分)
（2）若BC =，求二面角的平面角的正切值。(5分)

Answer 1

（1）
（2）

解法一：（Ⅰ）因，且，故面，
從而，又，故是異面直線(xiàn)與的公垂線(xiàn)．
設(shè)的長(zhǎng)度為，則四棱椎的體積為
．
而直三棱柱的體積為．
由已知條件，故，解之得．
從而．
在直角三角形中，，
又因，
故．
（Ⅱ）如圖，過(guò)作，垂足為，連接，因，，故面．

由三垂線(xiàn)定理知，故為所求二面角的平面角．
在直角中，，
又因，
故，所以．
解法二：
（Ⅰ）如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，．

設(shè)，則，
又設(shè)，則，
從而，即．
又，所以是異面直線(xiàn)與的公垂線(xiàn)．
下面求點(diǎn)的坐標(biāo)．
設(shè)，則．
因四棱錐的體積為

．
而直三棱柱的體積為．
由已知條件，故，解得，即．
從而，，．
接下來(lái)再求點(diǎn)的坐標(biāo)．
由，有，即     （1）
又由得．    （2）
聯(lián)立（1），（2），解得，，即，得．
故．
（Ⅱ）由已知，則，從而，過(guò)作，
垂足為，連接，
設(shè)，則，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823150352972743.png" style="vertical-align:middle;" />，故
……………………………………①
因且得，即
……………………………………②
聯(lián)立①②解得，，即．
則，．
．
又，故，
因此為所求二面角的平面角．又，從而，
故，為直角三角形，所以．