Question

已知橢圓的對稱中心為原點，焦點在軸上，左、右焦點分別為，且，點在該橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線與橢圓相交于兩點，若的面積為，求以為圓心且與直線相切的圓的方程．

 

Answer 1

【答案】

、（1）    （2）

【解析】

試題分析：）設(shè)出橢圓的標準方程，根據(jù)題意可求得焦點坐標，根據(jù)橢圓的定義和點）求得2a，進而根據(jù)a和c求得b，則橢圓的方程可得．設(shè)橢圓方程為,，（a＞b＞0），由題意可得：橢圓C兩焦點坐標分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）

那么利用定義可知2a=4,a=2,那么b= ,故可知橢圓方程為

（2）過點的直線與橢圓相交于兩點，若的面積為當(dāng)直線l⊥x軸，計算得到： A(-1，- )，B(-1，)，S_△AF2B=?|AB|?|F₁F₂|=×3×2=3，不符合題意．當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1），

由于y=k（x+1）與橢圓聯(lián)立方程組可知，消去y得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，顯然△＞0成立，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，則x₁+x₂=- ，x₁?x₂=，又|AB|= 

即|AB|=又圓F₂的半徑r=，所以S_△AF2B=|AB|r=×= 化簡，得17k⁴+k²-18=0，，即（k²-1）（17k²+18）=0，解得k=±1，所以，r= = ，故圓F₂的方程為：（x-1）²+y²=2．

考點：圓的標準方程

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和橢圓與直線，橢圓與圓的關(guān)系．考查了學(xué)生綜合運用所學(xué)知識，創(chuàng)造性地解決問題的能力．