Question

為保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國家科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，新上了把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項(xiàng)目，經(jīng)測算，該項(xiàng)目月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=

1 3 x3-80x2+5040x，x∈[120，144) 1 2 x2-200x+80000，x∈[144，500]

，
（1）寫出每噸的平均處理成本S與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？并求出該最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用項(xiàng)目月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=

1 3 x3-80x2+5040x，x∈[120，144) 1 2 x2-200x+80000，x∈[144，500]

，即可得出結(jié)論；
（2）分段討論，①當(dāng)x∈[120，144）時(shí)，S=

1

3

x2-80x+5040，求出S的最小值；②當(dāng)x∈[144，500]時(shí)，利用基本不等式求出S的最小值；比較得每月處理量為多少噸時(shí)，能使每噸的平均處理成本最低．

解答： 解：（1）由題意可知二氧化碳每噸的處理成本為S=

1 3 x2-80x +5040，x∈[120，144) 1 2 x-200+ 80000 x ，x∈[144，500]

（2）當(dāng)x∈[120，144），S=

1

3

x2-80x+5040，
∴x=120時(shí)，S取得最小值240；
當(dāng)x∈[144，500]，S=

1

2

x+

80000

x

-200≥2

1 2 x• 80000 x

-200=200
當(dāng)且僅當(dāng)

1

2

x=

80000

x

，即x=400時(shí)，S有最小值200；
綜上，當(dāng)每月的處理量為400噸時(shí)，每噸的平均處理成本最低為200元．

點(diǎn)評：本題考查了分段函數(shù)模型的應(yīng)用題目，并且考查了求二次函數(shù)的最值，利用基本不等式求函數(shù)的最值等問題，是中檔題．