Question

14．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的點(diǎn)到它的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，以橢圓C的短軸為直徑的圓O經(jīng)過兩個(gè)焦點(diǎn)，A，B是橢圓C的長(zhǎng)軸端點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓O的方程；
（2）設(shè)P、Q分別是橢圓C和圓O上位于y軸兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，若直線PQ與x平行，直線AP、BP與y軸的交點(diǎn)即為M、N，試證明∠MQN為直角．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的定義和a，b，c的關(guān)系，解方程可得橢圓的方程和圓的方程；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），直線AP：y=k（x+2）（k≠0），求得M，代入橢圓方程，求得P的坐標(biāo)，求出直線BP的方程，可得N的坐標(biāo)，設(shè)Q（x_Q，y₀），求得向量QM，QN的坐標(biāo)，運(yùn)用向量數(shù)量積計(jì)算即可得證．

解答 解：（1）由橢圓定義可得2a=4，又b=c且b²+c²=a²，
解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，
則圓O的方程為x²+y²=2；
（2）證明：設(shè)P（x₀，y₀），直線AP：y=k（x+2）（k≠0），
令x=0可得M（0，2k）．
將$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$和y=k（x+2）（k≠0）聯(lián)立可得
（2k²+1）x²+8k²x+8k²-4=0，
則$-2{x_0}=\frac{{8{k^2}-4}}{{2{k^2}+1}}$，${x_0}=\frac{{2-4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$，${y_0}=\frac{4k}{{2{k^2}+1}}$，
故$P（\frac{{2-4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}，\frac{4k}{{2{k^2}+1}}）$，
直線BP的斜率為${k_{BP}}=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}=-\frac{1}{2k}$，
直線BP：$y=-\frac{1}{2k}（x-2）$，
令x=0可得$N（0，\frac{1}{k}）$．
設(shè)Q（x_Q，y₀），則$\overrightarrow{QM}=（-{x_Q}，2k-{y_0}），\overrightarrow{QN}=（-{x_Q}，\frac{1}{k}-{y_0}）$，
由$x_Q^2+y_0^2=2$，${y_0}=\frac{4k}{{2{k^2}+1}}$，
可得$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}=x_Q^2+y_0^2+2-\frac{{2{k^2}+1}}{k}{y_0}=0$，
所以$\overrightarrow{QM}⊥\overrightarrow{QN}$，即∠MQN是定值90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程和圓方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義和基本量的關(guān)系，考查定值問題的解法，注意運(yùn)用向量的數(shù)量積的性質(zhì)，向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求交點(diǎn)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．