已知點(diǎn)F（0，1），點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，M點(diǎn)在y軸上，N為動(dòng)點(diǎn)，且滿足，．
（1）求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡C方程；
（2）由直線y=-1上一點(diǎn)Q向曲線C引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求證：AQ⊥BQ．
【答案】分析：（1）首先根據(jù)分別表示出P，M的坐標(biāo)；然后根據(jù)兩個(gè)條件即可求出動(dòng)點(diǎn)N的軌跡C方程．
（2）根據(jù)兩條直線斜率k均存在，故直接設(shè)出兩切線方程，代入曲線C的方程，化簡為一元二次方程，根據(jù)判別式△=0得到一個(gè)關(guān)系式，根據(jù)韋達(dá)定理易得出兩根之積為-1，即兩斜率之積為-1，易得出兩直線垂直
解答：解：（1）設(shè)N（x，y）．
因，
故P的坐標(biāo)為（，0），M（0，-y），
于是，，．
因，
即得曲線C的方程為x2=4y
（2）設(shè)Q（m，-1）．
由題意，兩條切線的斜率k均存在，
故可設(shè)兩切線方程為y=k（x-m）-1．
將上述方程代入x2=4y，
得x2-4kx+4km+4=0．
依題意，△=（-4k）2-4（4km+4）=0，
即k2-mk-1=0．
上述方程的兩根即為兩切線的斜率，
由根與系數(shù)的關(guān)系，其積為-1，即它們所在直線互相垂直
∴AQ⊥BQ
點(diǎn)評：本題考查求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程問題和直線與圓錐曲線相切問題，涉及到一元二次方程判別式與韋達(dá)定理的問題，屬于難題
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)F（0，1），直線l：y=-1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到直線l的距離．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）已知圓M過定點(diǎn)D（0，2），圓心M在軌跡C上運(yùn)動(dòng)，且圓M與x軸交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)F（0，1），直線l：y=-1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，且
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）已知圓M過定點(diǎn)D（0，2），圓心M在軌跡C上運(yùn)動(dòng)，且圓M與x軸交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)|DA|=l1，|DB|=l2，求
l1
l2
+
l2
l1
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知點(diǎn)F（0，1），直線L：y=-2，及圓C：x2+（y-3）2=1．
（1）若動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離比它到直線L的距離小1，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線g交軌跡E于G（x1，y1）、H（x2，y2）兩點(diǎn)，求證：x1x2 為定值；
（3）過軌跡E上一點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A、B，要使四邊形PACB的面積S最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及S的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•石家莊二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)F（0，1），直線l：y=-1，P為平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，且
QF
•(
QP
+
FP
)=0．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M（0，m）（m＞0）的直線AB與曲線E交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，設(shè)∠AFB=θ，若對于所有這樣的直線AB，都有θ∈（
π
2
，π]．求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•嘉定區(qū)二模）如圖，已知點(diǎn)F（0，1），直線m：y=-1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作m的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）（文）過軌跡C的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)M作方向向量為
d
=（a，1）的直線m′與軌跡C交于不同兩點(diǎn)A、B，問是否存在實(shí)數(shù)a使得FA⊥FB？若存在，求出a的范圍；若不存在，請說明理由；
（3）（文）在問題（2）中，設(shè)線段AB的垂直平分線與y軸的交點(diǎn)為D（0，y0），求y0的取值范圍．

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