Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若在點處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）討論函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：由 ，直線的斜率為，

所以得出a值，（2）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 大于零或小于零解不等式即可注意當(dāng)當(dāng)， 時（3）由（2）可知，

當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增，而，故在上沒有零點；

當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增，而，故在上有一個零點；只需討論當(dāng)時結(jié)合草圖根據(jù)零點所在的區(qū)間逐一討論即可

試題解析：

（1）由題可知的定義域為，

因為，所以

又因為直線的斜率為，

，解得

（2）由（1）知： ，

當(dāng)時， ，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上所述：當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增；當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（3）由（2）可知，

當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增，而，故在上沒有零點；

當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增，而，故在上有一個零點；

當(dāng)時，

①若，即時， 在上單調(diào)遞減， ， 在上沒有零點；

②若，即時， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而， ， ，

若 ，即時， 在上沒有零點；

若 ，即時， 在上有一個零點；

若 ，即時，由得，此時， 在上有一個零點；

由得，此時， 在上有兩個零點；

③若，即時， 在上單調(diào)遞增， ， ， 在上有一個零點.

綜上所述：當(dāng)或時， 在上有一個零點；當(dāng)或時， 在上沒有零點；當(dāng)時， 在上有兩個零點.