Question

已知函數(shù)．
（1）判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值為2，求a的值．

Answer 1

解：（1）由題意得f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），．（0，+∞）
①當(dāng)a≥0時(shí)，f'（x）＞0，故f（x）在上為增函數(shù)；
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f'（x）=0得x=-a；由f'（x）＞0得x＞-a；由f'（x）＜0得x＜-a；
∴f（x）在（0，-a]上為減函數(shù)；在（-a，+∞）上為增函數(shù)．
所以，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（0，-a]上是減函數(shù)，在（-a，+∞）上是增函數(shù)．
（2）∵，x＞0．由（1）可知：
①當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，f（x）_min=f（1）=-a=2，得a=-2，矛盾!
②當(dāng)0＜-a≤1時(shí)，即a≥-1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上也是增函數(shù)，f（x）_min=f（1）=-a=2，∴a=-2（舍去）．
③當(dāng)1＜-a＜e時(shí)，即-e＜a＜-1時(shí)，f（x）在[1，-a]上是減函數(shù)，在（-a，e]上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=2，得a=-e（舍去）．
④當(dāng)-a≥e時(shí)，即a≤-e時(shí)，f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，有，
∴a=-e．
綜上可知：a=-e．
分析：（1）先確定f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），再求導(dǎo)，由“f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)f'（x）＜0，f（x）在為減函數(shù)”判斷，要注意定義域和分類(lèi)討論．
（2）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/64455.png' />，x＞0．由（1）可知①當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，f（x）_min=f（1）當(dāng)0＜-a≤1時(shí)，即a≥-1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上也是增函數(shù)，f（x）_min=f（1）③當(dāng)1＜-a＜e時(shí)，即-e＜a＜-1時(shí)，f（x）在[1，-a]上是減函數(shù)，在（-a，e]上是增函數(shù)，f（x）_min=f（-a）④當(dāng)-a≥e時(shí)，即a≤-e時(shí)，f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，f（x）_min=f（e）最后取并集．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路是：當(dāng)函數(shù)為增函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于等于零；當(dāng)函數(shù)為減函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于等于零，已知單調(diào)性求參數(shù)的范圍時(shí)，往往轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問(wèn)題．