給定橢圓．稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”．若橢圓C的一個焦點(diǎn)為，其短軸上的一個端點(diǎn)到F的距離為．
(1)求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
(2)點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個動點(diǎn)，過動點(diǎn)P作直線，使得與橢圓C都只有一個交點(diǎn)，試判斷是否垂直？并說明理由．

(1) ； (2) 垂直．

解析試題分析：（1）由“橢圓C的一個焦點(diǎn)為，其短軸上的一個端點(diǎn)到F的距離為”知：從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和“準(zhǔn)圓”的方程；
（2）分兩種情況討論：①當(dāng)中有一條直線斜率不存在；②直線斜率都存在．
對于①可直接求出直線的方程并判斷其是不互相垂直；
對于②設(shè)經(jīng)過準(zhǔn)圓上點(diǎn)與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線為
與橢圓方程聯(lián)立組成方程組消去得到關(guān)于的方程：
由化簡整理得：
而直線的斜率正是方程的兩個根，從而
（1）
橢圓方程為
準(zhǔn)圓方程為
（2）①當(dāng)中有一條無斜率時，不妨設(shè)無斜率，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/b0/6/p0hap2.png" style="vertical-align:middle;" />與橢圓只有一個共公點(diǎn)，則其方程為
當(dāng)方程為時，此時與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)
此時經(jīng)過點(diǎn)（或）且與橢圓只有一個公共瞇的直線是（或）
即為（或），顯然直線垂直；
同理可證方程為時，直線也垂直．
②當(dāng)都有斜率時，設(shè)點(diǎn)其中
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線為
則由消去，得

由化簡整理得：
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/87/a/eyu5u1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以有
設(shè)的斜率分別為，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/2e/50/2ec50395dcd0d6e9b27a7ab3666a8790.png" style="vertical-align:middle;" />與橢圓只有一個公共點(diǎn)
所以滿足上述方程

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)為曲線:上任一點(diǎn)（點(diǎn)不同于），直線與直線交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，試判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（2013•湖北）如圖，已知橢圓C1與C2的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，長軸均為MN且在x軸上，短軸長分別為2m，2n（m＞n），過原點(diǎn)且不與x軸重合的直線l與C1，C2的四個交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D，記，△BDM和△ABN的面積分別為S1和S2．
（1）當(dāng)直線l與y軸重合時，若S1=λS2，求λ的值；
（2）當(dāng)λ變化時，是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S1=λS2？并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）是否存在與橢圓交于兩點(diǎn)的直線：，使得成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

給定橢圓．稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”．若橢圓C的一個焦點(diǎn)為，其短軸上的一個端點(diǎn)到F的距離為．
(1)求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
(2)點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個動點(diǎn)，過動點(diǎn)P作直線，使得與橢圓C都只有一個交點(diǎn)，試判斷是否垂直？并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知動點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，到軸的距離為，且．
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2） 若直線斜率為1且過點(diǎn)，其與軌跡交于點(diǎn)，求的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知中心在原點(diǎn)的橢圓C: 的一個焦點(diǎn)為為橢圓C上一點(diǎn)，△MOF2的面積為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在平行于OM的直線l，使得l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且以線段AB為直徑的圓恰好過原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的中心和拋物線的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，、的焦點(diǎn)均在軸上，過的焦點(diǎn)F作直線，與交于A、B兩點(diǎn)，在、上各取兩個點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：


（1）求，的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若與交于C、D兩點(diǎn)，為的左焦點(diǎn)，求的最小值；
（3）點(diǎn)是上的兩點(diǎn)，且，求證：為定值；反之，當(dāng)為此定值時，是否成立？請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點(diǎn)在拋物線上，直線（，且）與拋物線，相交于、兩點(diǎn)，直線、分別交直線于點(diǎn)、.
（1）求的值；
（2）若，求直線的方程；
（3）試判斷以線段為直徑的圓是否恒過兩個定點(diǎn)？若是，求這兩個定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案