Question

已知函數(shù)f（x）=x-sinx（x≥0）
（1）求f（x）的最小值；
（2）若函數(shù)g(x)=

x2

2

-af′(x)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若

n

k=1

cos

1

k

≤λn對(duì)一切n∈N^*恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求出最小值；（2）先證明函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)性，再求正實(shí)數(shù)a的取值范圍，注意分類討論；（3）借助函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究其單調(diào)性，得到參數(shù)的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=1-cosx=0得x=0，且函數(shù)在[0，+∞）上為增函數(shù)，故f（x）的最小值為0  
 （2）g(x)=

x2

2

-a-acosx，g′（x）=x-asinx又a為正實(shí)數(shù)
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，若x∈（0，1），由（1）可知x≥sinx，所以g′（x）≥（1-a）sinx≥0
若x∈（1，+∞），asinx≤a≤1＜x，
所以g′（x）≥（1-a）sinx≥0
綜上，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞1時(shí)，令h（x）=x-asinx，（x≥0）則h′（x）=1-acosx
當(dāng)x∈(0，arccos

1

a

)時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單減，所以h（x）＜h（0）=0
即g′（x）＜0，所以g（x）在(0，arccos

1

a

)上單調(diào)遞減，與已知矛盾．
綜上，正實(shí)數(shù)a的取值范圍為：正實(shí)數(shù)a的取值范圍（0，1]
（3）首先

n

k=1

cos

1

k

＜n其次，由（2）知：當(dāng)a=1時(shí)，g(x)=

x2

2

-1-cosx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以g（x）＞g（0）=0，從而cosx＞1-

x2

2

，
所以：cos

1

k

＞1-

1

2k2

n

k=1

cos

1

k

＞n-

1

2

n

k=1

1

k2

＞n-

1

2

(1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

)
=n-1+

1

2n

＞n-1
若λ≥1，則λn≥n＞

n

k=1

cos

1

k

若λ＜1，則λn≥

n

k=1

cos

1

k

＞n-1，
即λn＞n-1，對(duì)一切n∈N^*恒成立，但當(dāng)n＞

1

1-λ

時(shí)，λn＜n-1，矛盾．
綜上：λ≥1，其最小值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，重點(diǎn)考查利用單調(diào)性求函數(shù)的最值問(wèn)題，第（3）問(wèn)有一定難度