Question

如圖,已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁,過一面對角線AB₁且與另一面對角線BC₁平行的平面交上底面A₁B₁C₁的一邊A₁C₁于點D.

(1)確定D點的位置,并證明你的結(jié)論.

(2)證明平面AB₁D⊥平面AA₁D.

(3)若AB=6,AA₁=4,求直線BC₁與平面AB₁D的距離.

(4)若AB∶A₁A=k,問是否存在實數(shù)k,使平面AB₁D與平面AB₁A₁所成角的大小為45°？若存在,請求出k的值；若不存在,請說明理由.

Answer 1

思路解析：(1)線面平行,轉(zhuǎn)化為線線平行,故可通過補形進行平移；(2)要證面面垂直,需證線面垂直；(3)要求線面距離可通過線面平行轉(zhuǎn)化為點面距離；(4)對探索性問題,不妨假設(shè)存在,然后求解或推理論證.

 

(1)證明：如上圖,將正三棱柱ABC—A₁B₁C₁補成直平行六面體ABCE—A₁B₁C₁E₁,從而有AE₁∥BC₁.

∴BC₁∥面AB₁E₁.

∴面AB₁E₁為所求平行平面,此時面AB₁E₁與A₁C₁交于點D.

又A₁B₁C₁E₁為平行四邊形,

∴D為A₁C₁中點.

(2)證明：連結(jié)AD,由直平行六面體定義知AA₁⊥面A₁B₁C₁E₁,

∴AA₁⊥B₁D.

又A₁B₁C₁E₁為菱形,∴B₁D⊥A₁C₁.

∴B₁D⊥面AA₁D.

又B₁D面AB₁D,

∴面AB₁D⊥面AA₁D.

(3)解法一：∵BC₁∥平面AB₁D,

∴只需求C₁到平面AB₁D的距離.

又A₁D=DC₁,故只需求A₁到面AB₁D的距離即可.

由(2)知面AB₁D⊥面AA₁D,

∴過A₁作A₁M⊥AD,則A₁M⊥平面AB₁D.

∴A₁M為所求.

由A₁D·AA₁=A₁M·AD,得A₁M=.

解法二：由V_c1—AB1D=V_a—B₁C₁D,S_△B1C1D=,S_△ADB1=,

得,

∴h=,即C₁到平面AB₁D的距離為.

(4)解：如下圖,過點D作DG⊥A₁B₁于點G,則DG⊥面A₁B₁BA.

過G作GH⊥AB₁于點H,連結(jié)DH,則DH⊥AB₁,

∴∠DHG為A₁-AB₁-D的平面角.

若∠DHG=45°,設(shè)AA₁=a,則AB=ka,DG=ka.

∵AA₁∶AB₁=GH∶GB₁,

∴GH=,GH=DG=ka.

∴k=2.

∴存在k=2,使平面AB₁D與平面AB₁A₁所成角的大小為45°.

巧解提示  本題以正三棱柱為載體,融合了線線、線面、面面的位置關(guān)系以及距離、角、體積等問題.一般地,利用三棱錐等積法尋找底面上的高,常將一個底面的頂點選在多面體的同一表面上.