Question

18．已知（x-2$\root{3}{x}$）ⁿ的展開式中所有二項式系數(shù)之和為1024．
（1）求展開式的所有有理項；
（2）求（1-x）³+（1-x）⁴+…（1-x）ⁿ展開式中x²項的系數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：2ⁿ=1024，解得n，再利用通項公式即可得出．
（2）（1-x）³+（1-x）⁴+…（1-x）ⁿ展開式中x²項的系數(shù)=${∁}_{3}^{2}$+${∁}_{4}^{2}$+…+${∁}_{n}^{2}$，再利用組合數(shù)的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：2ⁿ=1024，解得n=10，
$（x-2\root{3}{x}）^{10}$的通項公式為：T_r+1=${∁}_{10}^{r}$x^10-r$（-2\root{3}{x}）^{r}$=（-2）^r${∁}_{10}^{r}$${x}^{10-\frac{4r}{3}}$．
當r=0，3，6，9時，可得有理項：x¹⁰，$-8{∁}_{10}^{3}$x⁶，${2}^{6}{∁}_{10}^{6}$x²，-2⁹×10x．
（2）（1-x）³+（1-x）⁴+…（1-x）ⁿ展開式中x²項的系數(shù)為：${∁}_{3}^{2}$+${∁}_{4}^{2}$+…+${∁}_{n}^{2}$=${∁}_{3}^{3}+$${∁}_{3}^{2}$+${∁}_{4}^{2}$+…+${∁}_{n}^{2}$=${∁}_{4}^{3}$+${∁}_{4}^{2}$+…+${∁}_{n}^{2}$=${∁}_{n}^{3}$+${∁}_{n}^{2}$=${∁}_{n+1}^{3}$．

點評 本題考查了二項式定理的應用、組合數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔礎(chǔ)題．