Question

14．已知底面為邊長為2的正方形，側(cè)棱長為1的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是面A₁B₁C₁D₁上的動點．給出以下四個結(jié)論中，正確的個數(shù)是（　�。�
①與點D距離為$\sqrt{3}$的點P形成一條曲線，則該曲線的長度是$\frac{π}{2}$；
②若DP∥面ACB₁，則DP與面ACC₁A₁所成角的正切值取值范圍是$[{\frac{{\sqrt{6}}}{3}，+∞}）$；
③若$DP=\sqrt{3}$，則DP在該四棱柱六個面上的正投影長度之和的最大值為$6\sqrt{2}$．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①與點D距離為$\sqrt{3}$的點P形成以D₁為圓心，半徑為$\sqrt{2}$的$\frac{1}{4}$圓弧MN，利用弧長公式，可得結(jié)論；
②當(dāng)P在A₁（或C₁）時，DP與面ACC₁A₁所成角∠DA₁O（或∠DC₁O）的正切值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$最小，當(dāng)P在O₁時，DP與面ACC₁A₁所成角∠DO₁O的正切值為$\sqrt{2}$最大，可得正切值取值范圍是$[{\frac{{\sqrt{6}}}{3}，\sqrt{2}}]$；
③設(shè)P（x，y，1），則x²+y²+1=3，即x²+y²=2，可得DP在前后、左右、上下面上的正投影長，即可求出六個面上的正投影長度之和．

解答 解：如圖，①錯誤，與點D距離為$\sqrt{3}$的點P形成以D₁為圓心，半徑為$\sqrt{2}$的$\frac{1}{4}$圓弧MN，長度為$\frac{1}{4}•2π•\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}π$；
②錯誤，因為面A₁DC₁∥面ACB₁，所以點P必須在面對角線A₁C₁上運動，當(dāng)P在A₁（或C₁）時，DP與面ACC₁A₁所成角∠DA₁O（或∠DC₁O）的正切值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$最小，當(dāng)P在O₁時，DP與面ACC₁A₁所成角∠DO₁O的正切值為$\sqrt{2}$最大，所以正切值取值范圍是$[{\frac{{\sqrt{6}}}{3}，\sqrt{2}}]$；
③正確，設(shè)P（x，y，1），則x²+y²+1=3，即x²+y²=2，DP在前后、左右、上下面上的正投影長分別為$\sqrt{{y^2}+1}，\sqrt{{x^2}+1}，\sqrt{{x^2}+{y^2}}$，所以六個面上的正投影長度之和為$2（\sqrt{{y^2}+1}+\sqrt{{x^2}+1}+\sqrt{2}）≤2（2\sqrt{\frac{{{y^2}+1+{x^2}+1}}{2}}+\sqrt{2}）=6\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)P在O₁時取等號．
故選B．

點評 本題以命題的真假判斷為載體，考查了軌跡問題、線面角、正投影等知識點，綜合性強，難度較大．