Question

8．已知在邊長為1的正方形ABCD中，E、F分別在線段AB，BC上運動，若EF=1，則$\overrightarrow{EC}$$•\overrightarrow{FD}$的取值范圍是（　�。�

• A． [1-$\sqrt{2}$，0]
• B． [0，$\sqrt{2}$+1]
• C． [$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$+1]
• D． [1，$\sqrt{2}$+1]

Answer 1

分析 建立坐標系，設(shè)F（x，0），使用坐標法求出$\overrightarrow{EC}$$•\overrightarrow{FD}$，得到關(guān)于x的函數(shù)，求出此函數(shù)的值域即可．

解答 解：以BC為x軸，BA為y軸建立平面直角坐標系，設(shè)F（x，0），則0≤x≤1，C（1，0），D（1，1）．

∵EF=1，∴E（0，$\sqrt{1-{x}^{2}}$），∴$\overrightarrow{EC}=（1，-\sqrt{1-{x}^{2}}）$，$\overrightarrow{FD}=（1-x，1）$．
∴$\overrightarrow{EC}$$•\overrightarrow{FD}$=1-x-$\sqrt{1-{x}^{2}}$．
令f（x）=1-x-$\sqrt{1-{x}^{2}}$，則f′（x）=-1+$\frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}}$．
令f′（x）=0，解得x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴當0≤x$＜\frac{\sqrt{2}}{2}$時，f′（x）＜0，當$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x≤1時，f′（x）＞0．
f（0）=0，f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1-$\sqrt{2}$，f（1）=0．
∴1-$\sqrt{2}$≤f（x）≤0．
故選A．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，采用坐標法是常用方法之一．