Question

13．若存在正數(shù)a和實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀+a）=f（x₀）+a成立，則稱區(qū)間[x₀，x₀+a]為函數(shù)f（x）的“公平增長(zhǎng)區(qū)間”．則下列四個(gè)函數(shù)：
①f（x）=2x-1
②f（x）=||x|-1|，
③$f（x）=\sqrt{{x^2}-1}$，
④f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$-x，x∈[1，+∞）
其中有“公平增長(zhǎng)區(qū)間”的為②④（填出所有正確結(jié)論的番號(hào)）．

Answer 1

分析 若存在正數(shù)a和實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀+a）=f（x₀）+a成立，則函數(shù)圖象上存在兩點(diǎn)連續(xù)的斜率為1，進(jìn)而得到答案．

解答 解：若存在正數(shù)a和實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀+a）=f（x₀）+a成立，
則函數(shù)圖象上存在兩點(diǎn)連續(xù)的斜率為1，
當(dāng)f（x）=2x-1時(shí)，任兩點(diǎn)連續(xù)的斜率均為2，故不存在“公平增長(zhǎng)區(qū)間”；
當(dāng)f（x）=||x|-1|時(shí)，當(dāng)x∈[-1，0]∪[1，+∞）時(shí)，斜率為1，故存在“公平增長(zhǎng)區(qū)間”；
當(dāng)$f（x）=\sqrt{{x^2}-1}$時(shí)，$f′（x）=\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$∈（-∞，-1）∪（1，+∞），故不存在“公平增長(zhǎng)區(qū)間”；
當(dāng)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$-x，x∈[1，+∞）時(shí)，$f′（x）=\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$-1∈（0，+∞），故存在“公平增長(zhǎng)區(qū)間”；
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是新定義函數(shù)f（x）的“公平增長(zhǎng)區(qū)間”，正確理解新定義的含義，是解答的關(guān)鍵．