Question

5．如圖，四邊形ABCD是矩形，BC⊥平面ABEF，四邊形ABEF是梯形，∠EFA=∠FAB=90°，EF=FA=AD=1，點M是DF的中點，AB=2．
（Ⅰ）求證：BF∥平面AMC；
（Ⅱ）以A點為坐標原點，以AF，AB，AD分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求二面角B-AC-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD，交AC于點G，則點G為BD的中點，又點M是DF的中點，由三角形中位線定理可得BF∥MG，再由線面平行的判定可得BF∥平面AMC；
（Ⅱ）依題意建立如圖所示的空間直角坐標系，得到A，C，E，F(xiàn)的坐標，求出平面ACE的一個法向量，再由$\overrightarrow{AF}$是平面ACB的一個法向量，求出兩法向量所成角的余弦值得到二面角B-AC-E的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：連接BD，交AC于點G，∴點G為BD的中點，
∵點M是DF的中點，∴BF∥MG，
∵MG?平面AMC，BF?平面AMC，∴BF∥平面AMC；
（Ⅱ）解：依題意建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（0，0，0），C（0，2，1），E（1，1，0），F(xiàn)（1，0，0），
∴$\overrightarrow{AC}=（0，2，1），\overrightarrow{AE}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{AF}=（1，0，0）$．
設(shè)平面ACE的一個法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=x+y=0}\end{array}\right.$，令x=1，則y=-1，z=2．
∴$\overrightarrow{n}=（1，-1，2）$，
又$\overrightarrow{AF}$是平面ACB的一個法向量，∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AF}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AF}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
如圖所示，二面角B-AC-E為銳角，
∴二面角B-AC-E的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和思維能力，訓練了利用空間向量求二面角的大小，是中檔題．