Question

已知函數(shù)f（x）=x²+lnx-ax．
（1）若f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，求a得取值范圍；
（2）在（1）的結(jié)論下，設(shè)g（x）=e^2x+|e^x-a|，x∈[0，ln3]，求函數(shù)g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）本題知道了函數(shù)在（0，1）上是增函數(shù)，求a范圍，可以轉(zhuǎn)化為f'（x）＞0在（0，1）上恒成立，由此求解參數(shù)范圍即可；
（2）本題先用換元法將復(fù)合函數(shù)變成關(guān)于變量的分段二次函數(shù)，然后在兩段時分別研究，求出每一段上的最小值，再取兩者中的較小者即可．

解答：解：（1）f'（x）=2x+

1

x

-a，（1分）
∵f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
∴2x+

1

x

-a＞0在（0，1）上恒成立，即a＜2x+

1

x

恒成立．
∵2x+

1

x

≥2

2

（當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

2

時取等號），所以a＜2

2

．（4分）
當(dāng)a=2

2

時，易知f（x）在（0，1）上也是增函數(shù)，所以a≤2

2

．（5分）
（2）設(shè)t=e^x，則h（t）=t²+|t-a|，
∵x∈[0，ln3]，∴t∈[1，3]．（7分）
當(dāng)a≤1時，h（t）=t²+t-a，在區(qū)間[1，3]上是增函數(shù)，所以h（t）的最小值為h（1）=2-a．（9分）
當(dāng)1＜a≤2

2

時，h（t）=

t2-t+a    1≤t＜a t2+t-a    a≤t≤3

．
因為函數(shù)h（t）在區(qū)間[a，3]上是增函數(shù)，在區(qū)間[1，a]上也是增函數(shù)，所以h（t）在[1，3]上為增函數(shù)，
所以h（t）的最小值為h（1）=a．（14分）
所以，當(dāng)a≤1時，g（x）的最小值為2-a；當(dāng)1＜a≤2

2

時，g（x）的最小值為a．（15分）

點評：本題的考點是函數(shù)的最值及其幾何意義，考查了函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查了不等式恒成立求參數(shù)問題的轉(zhuǎn)化方向，利用單調(diào)性求函數(shù)的最小值．涉及到的知識點較多，綜合性強．