Question

已知函數(shù)f（x）=x-lnx
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：其中n≥2，n∈N^*．

Answer 1

（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）
求導(dǎo)函數(shù)
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；令f′（x）＞0，∵x＞0，∴可得x＞1，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）；f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）；
（2）證明：當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）≥f（1），即lnx≤x-1，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，lnx＜x-1．
令（n≥2，n∈N^*），則．
所以當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，，
即，
∴． …14分．
分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)函數(shù)，利用f′（x）＜0，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；利用f′（x）＞0，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）≥f（1），即lnx≤x-1，從而當(dāng)x＞1時(shí)，lnx＜x-1．令（n≥2，n∈N^*），則，由此可證得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是求得導(dǎo)函數(shù)，利用f′（x）＜0，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；利用f′（x）＞0，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．