Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1），n∈N^*．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）設，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（III）求使不等式對一切n∈N^*均成立的最大實數(shù)p的值．

Answer 1

解：（I）證明：∵a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1），
S_n+1=（n+1）a_n+1-2（n+1）n，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-4n，
∴a_n+1-a_n=4，
∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）•4=4n-3．
（II）由（I）知：a_n=4n-3，
∴=，
∴，
∴，
兩式相減，得：+…+）-
=-
=-，
∴．
（III）∵≥對一切n∈N^*均成立，
即對一切n∈N^*均成立，
只需p≤_min，n∈N^*，
令…，n≥2，且n∈N^*，
則，n≥2，且n∈N^*，
==＞1，n≥2，且n∈N^*，
∴f（n）＞f（n-1），n≥2，且n∈N^*，
即f（n）在n∈N^*上為增函數(shù)，
∴=，
∴，
故實數(shù)p的最大值是．
分析：（I）由a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1），知S_n+1=（n+1）a_n+1-2（n+1）n，故a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-4n，所以a_n+1-a_n=4，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（II）由a_n=4n-3，知=，所以，由錯位相減法能求出．
（III）由≥對一切n∈N^*均成立，知對一切n∈N^*均成立，只需p≤_min，n∈N^*，由此能求出實數(shù)p的最大值．
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易錯點是求使不等式對一切n∈N^*均成立的等價命題的轉化，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．