Question

18．如圖所示，在四棱臺(tái)ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，AB=AA₁=2A₁B₁=2．
（Ⅰ）若M為CD中點(diǎn)，求證：AM⊥平面AA₁B₁B；
（Ⅱ）求直線DD₁與平面A₁BD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AM⊥CD，AM⊥AB，AM⊥AA₁，由此能證明AM⊥平面AA₁B₁B
（Ⅱ）分別以AB，AM，AA₁為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出直線DD₁與平面A₁BD所成角θ的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵四邊形為菱形，∠BAD=120°，連結(jié)AC，
∴△ACD為等邊三角形，
又∵M(jìn)為CD中點(diǎn)，∴AM⊥CD，
由CD∥AB得，∴AM⊥AB，
∵AA₁⊥底面ABCD，AM?底面ABCD，∴AM⊥AA₁，
又∵AB∩AA₁=A，∴AM⊥平面AA₁B₁B
解：（Ⅱ）∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，AB=AA₁=2A₁B₁=2，
∴DM=1，$AM=\sqrt{3}$，∠AMD=∠BAM=90°，
又∵AA₁⊥底面ABCD，
分別以AB，AM，AA₁為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則A₁（0，0，2）、B（2，0，0）、$D（{-1，\sqrt{3}，0}）$、${D_1}（{-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，2}）$，
∴$\overrightarrow{D{D_1}}=（{\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，2}）$，$\overrightarrow{BD}=（{-3，\sqrt{3}，0}）$，$\overrightarrow{{A_1}B}=（{2，0，-2}）$，
設(shè)平面A₁BD的一個(gè)法向量$\vec n=（{x，y，z}）$，
則有$\left\{\begin{array}{l}\vec n•\overrightarrow{BD}=0\\ \vec n•\overrightarrow{{A_1}B}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}-3x+\sqrt{3}y=0\\ 2x-2z=0\end{array}\right.⇒y=\sqrt{3}x=\sqrt{3}z$，令x=1，則$\vec n=（{1，\sqrt{3}，1}）$，
∴直線DD₁與平面A₁BD所成角θ的正弦值：
$sinθ=|{cos＜\vec n，\overrightarrow{D{D_1}}＞}|=|{\frac{{\vec n•\overrightarrow{D{D_1}}}}{{|{\vec n}|•|{\overrightarrow{D{D_1}}}|}}}|=\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．