已知函數(shù)f（x）=
1
2x+1
-
1
2
．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）設(shè)g（x）=x（
1
2x+1
-
1
2
），求證：對(duì)于任意x≠0，都有g(shù)（x）＜0．
分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，再檢驗(yàn)f（-x）與f（x）的關(guān)系，從而下結(jié)論；
（2）易得x＞0時(shí)，g(x)=
1-2x
2(2x+1)
•x＜0，根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，問題得證．
解答：解：（1）易知，函數(shù)定義域?yàn)镽，且f(x)=
1-2x
2(2x+1)
                 （1分）
由f(-x)=
1-2-x
2(2-x+1)
=-f(x)       （4分）
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．                                          （5分）
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)=
1-2x
2(2x+1)
•x＜0；                    （7分）
易知，g（x）為偶函數(shù)．                                    （8分）
故當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）＜0．                                （9分）
因此，對(duì)于任意x≠0，都有g(shù)（x）＜0．               （10分）
點(diǎn)評(píng)：判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)該先求出函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱則函數(shù)不具有奇偶性，若對(duì)稱，再檢驗(yàn)f（-x）與f（x）的關(guān)系．本題屬于中檔題目．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
|x|
，g（x）=1+
x+|x|
2
，若f（x）＞g（x），則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　�。�
A、（-∞，-1）∪（0，1）
B、(-∞，-1)∪(0，
-1+
5
2
)
C、(-1，0)∪(
-1+
5
2
，+∞)
D、(-1，0)∪(0，
-1+
5
2
)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∉Q
，則f[f（π）]=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1-x
ax
+lnx(a＞0)
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在[
1
2
，2]上的最大值和最小值；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，求證對(duì)任意大于1的正整數(shù)n，lnn＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+cos2x-2sin2（x-
π
6
），其中x∈R，則下列結(jié)論中正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+logax（a＞0，a≠1），滿足f（9）=3，則f-1（log92）的值是（　�。�

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