Question

18．在棱長為2的正方體OABC-O₁A₁B₁C₁中，P是對角線O₁B上任意一點，Q為棱B₁C₁的中點，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 以O(shè)為原點，OA為x軸，OC為y軸，OO₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出|PQ|的最小值．

解答 解：以O(shè)為原點，OA為x軸，OC為y軸，OO₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵在棱長為2的正方體OABC-O₁A₁B₁C₁中，P是對角線O₁B上任意一點，Q為棱B₁C₁的中點，
∴Q（1，2，2），D₁（0，0，2），B（2，2，0），
設(shè)P（a，b，c），$\overrightarrow{{D}_{1}P}=λ\overrightarrow{{D}_{1}B}$，0≤λ≤1，
則（a，b，c-2）=（2λ，2λ，-2λ），
∴P（2λ，2λ，2-2λ），$\overrightarrow{PQ}$=（1-2λ，2-2λ，2λ），
∴|$\overrightarrow{PQ}$|=$\sqrt{（1-2λ）^{2}+（2-2λ）^{2}+（2λ）^{2}}$=$\sqrt{12{λ}^{2}-12λ+5}$=$\sqrt{12（λ-\frac{1}{2}）^{2}+2}$，
∴$λ=\frac{1}{2}$時，|PQ|取最小值$\sqrt{2}$．

點評 本題考查線段長的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．