Question

7．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（ 2）當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，證明：e²x²-$\frac{5}{2}$x＞（x+1）lnx．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再分類討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性，
（2）令g（x）=e²x-lnx，h（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{5}{2}$，只要證明g（x）_min＞h（x）_max，分別求導(dǎo)，求出最值，即可證明．

解答 解：（1）：f（x）=ax-lnx，a∈R，x＞0，
∴f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，即f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得x＞$\frac{1}{a}$，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{a}$，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{a}$，+∞）單調(diào)遞增，
證明：（2）不等式e²x²-$\frac{5}{2}$x＞（x+1）lnx等價(jià)于e²x-lnx＞$\frac{lnx}{x}$+$\frac{5}{2}$，
令g（x）=e²x-lnx，
則g′（x）=e²-$\frac{1}{x}$，
令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{{e}^{2}}$，e]時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x=$\frac{1}{{e}^{2}}$時(shí)，g（x）_min=g（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=3，
令h（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{5}{2}$，
則h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令h′（x）=0，解得x=e，
當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，h′（x）≥0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x=e時(shí)，h（x）_max=h（e）=$\frac{1}{e}$+$\frac{5}{2}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{5}{2}$=3，
所以e²x-lnx＞$\frac{lnx}{x}$+$\frac{5}{2}$，
所以e²x²-$\frac{5}{2}$x＞（x+1）lnx

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值，考查不等式的證明，注意構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于中檔題，