Question

5．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c
（1）若a，b，c成等差數(shù)列，且sinA=2sinC，求cosB的值；
（2）若b=c=2，且函數(shù)f（x）=$\frac{1}{4}$x³-$\frac{3}{4}$x的極大值為cosA，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由a，b，c成的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，利用正弦定理化簡已知的等式得到關(guān)系式，再利用余弦定理表示出cosB，將得出的關(guān)系式代入計算即可求出值；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的極值，然后求解三角形的面積．

解答 解：（1）∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b=a+c，
利用正弦定理化簡sinA=2sinC得：2c=a，則b=$\frac{3}{2}$c，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{4{c}^{2}+{c}^{2}-\frac{9}{4}{c}^{2}}{4{c}^{2}}$=$\frac{11}{16}$；
（2）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{4}$x³-$\frac{3}{4}$x，
f′（x）=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{3}{4}$，令$\frac{3}{4}$x²-$\frac{3}{4}$=0，可得x=1或x=-1．
x＜-1，x＞1時，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)，
x∈（-1，1）時，f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)，
易知f（x）極大=f（-1）=$\frac{1}{2}$=cosA，
從而sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$
即△ABC的面積為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面積公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．同時綜合考查導(dǎo)數(shù)的極值的知識，考查解三角形的有關(guān)知識．