【題目】設(shè)函數(shù), .
(Ⅰ)若,求的極小值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,是否存在實常數(shù)和,使得和?若存在,求出和的值.若不存在,說明理由;
(Ⅲ)設(shè)有兩個零點,且成等差數(shù)列,試探究值的符號.
【答案】(1)極小值為0(2)k=2,m= -1(3)
【解析】試題分析:(Ⅰ)首先由,得到關(guān)于的兩個方程,從而求出,這樣就可得到的表達(dá)式,根據(jù)它的特點可想到用導(dǎo)數(shù)的方法求出的極小值; (Ⅱ)由(Ⅰ)中所求的和,易得到它們有一個公共的點,且和在這個點處有相同的切線,這樣就可將問題轉(zhuǎn)化為證明和分別在這條切線的上方和下方,兩線的上下方可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與0的大小,即證和成立,從而得到和的值; (Ⅲ)由已知易得,由零點的意義,可得到關(guān)于兩個方程,根據(jù)結(jié)構(gòu)特征將兩式相減,得到關(guān)于的關(guān)系式,又對求導(dǎo),進而得到,結(jié)合上面關(guān)系可化簡得: ,針對特征將當(dāng)作一個整體,可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),對其求導(dǎo)分析得, 恒成立.
試題解析:解:(Ⅰ)由,得,解得2分
則= ,
利用導(dǎo)數(shù)方法可得的極小值為5分
(Ⅱ)因與有一個公共點,而函數(shù)在點的切線方程為,
下面驗證都成立即可 7分
由,得,知恒成立 8分
設(shè),即,易知其在上遞增,在上遞減,
所以的最大值為,所以恒成立.
故存在這樣的k和m,且10分
(Ⅲ)的符號為正. 理由為:因為有兩個零點,則有
,兩式相減得12分
即,于是
14分
①當(dāng)時,令,則,且.
設(shè),則,則在上為增函數(shù).而,所以,即. 又因為,所以.
②當(dāng)時,同理可得: .
綜上所述: 的符號為正 16分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(),將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象,且在區(qū)間內(nèi)的最大值為.
(1)求實數(shù)的值;
(2)在中,內(nèi)角, , 的對邊分別是, , ,若,且,求的周長的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校數(shù)學(xué)課外興趣小組為研究數(shù)學(xué)成績是否與性別有關(guān),先統(tǒng)計本校高三年級每個學(xué)生一學(xué)期數(shù)學(xué)成績平均分(采用百分制),剔除平均分在分以下的學(xué)生后, 共有男生名,女生名,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了名學(xué)生,按性別分為兩組,并將兩組學(xué)生成績分為組, 得到如下頻數(shù)分布表.
(Ⅰ)估計男、女生各自的平均分(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表),從計算結(jié)果看,能否判斷數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān);
(Ⅱ)規(guī)定分以上為優(yōu)分(含分),請你根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表,并判斷是否有%以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績與性別有關(guān)”,( ,其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓: 的離心率為,過其右焦點與長軸垂直的直線與橢圓在第一象限相交于點, .
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)橢圓的左頂點為,右頂點為,點是橢圓上的動點,且點與點, 不重合,直線與直線相交于點,直線與直線相交于點,求證:以線段為直徑的圓恒過定點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)點、是平面上左、右兩個不同的定點, ,動點滿足:
.
(1)求證:動點的軌跡為橢圓;
(2)拋物線滿足:①頂點在橢圓的中心;②焦點與橢圓的右焦點重合.
設(shè)拋物線與橢圓的一個交點為.問:是否存在正實數(shù),使得的邊長為連續(xù)自然數(shù).若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù), .
(Ⅰ)若,求的極小值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,是否存在實常數(shù)和,使得和?若存在,求出和的值.若不存在,說明理由;
(Ⅲ)設(shè)有兩個零點,且成等差數(shù)列,試探究值的符號.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校夏令營有3名男同學(xué)A、B、C和3名女同學(xué)X,Y,Z,其年級情況如下表,現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同).
(1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果;
(2)設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”,求事件M發(fā)生的概率.
一年級 | 二年級 | 三年級 | |
男同學(xué) | A | B | C |
女同學(xué) | X | Y | Z |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知短軸長為2的橢圓,直線的橫、縱截距分別為,且原點到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線經(jīng)過橢圓的右焦點且與橢圓交于兩點,若橢圓上存在一點滿足,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的最大值;
(2)令既有極大值,又有極小值,求實數(shù)a的范圍;
(3)求證:當(dāng)以.
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