Question

給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0），稱圓心在原點O，半徑為

a2+b2

的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”．若橢圓C的一個焦點為F(

2

，0)，其短軸上的一個端點到F的距離為

3

．
（1）求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程．
（2）點P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個動點，過點P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個交點．求證：l₁⊥l₂．

Answer 1

分析：（1）欲求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程，只要求出半徑

a2+b2

即可，即分別求出橢圓方程中的a，b即得，這由題意不難求得；
（2）先分兩種情況討論：①當(dāng)l₁，l₂中有一條無斜率時；②．②當(dāng)l₁，l₂都有斜率時，第一種情形比較簡單，對于第二種情形，將與橢圓只有一個公共點的直線為y=t（x-x₀）+y₀，代入橢圓方程，消去去y得到一個關(guān)于x的二次方程，根據(jù)根的判別式等于0得到一個方程：（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+（x₀²-3）=0，而直線l₁，l₂的斜率正好是這個方程的兩個根，從而證得l₁⊥l₂．

解答：解：（1）因為c=

2

，a=

3

，所以b=1
所以橢圓的方程為

x2

3

+y2=1，
準(zhǔn)圓的方程為x²+y²=4．
（2）①當(dāng)l₁，l₂中有一條無斜率時，不妨設(shè)l₁無斜率，
因為l₁與橢圓只有一個公共點，則其方程為x=

3

或x=-

3

，
當(dāng)l₁方程為x=

3

時，此時l₁與準(zhǔn)圓交于點(

3

，1)(

3

，-1)，
此時經(jīng)過點(

3

，1)（或

3

，-1)且與橢圓只有一個公共點的直線是y=1（或y=-1），
即l₂為y=1（或y=-1），顯然直線l₁，l₂垂直；
同理可證l₁方程為x=-

3

時，直線l₁，l₂垂直．
②當(dāng)l₁，l₂都有斜率時，設(shè)點P（x₀，y₀），其中x₀²+y₀²=4，
設(shè)經(jīng)過點P（x₀，y₀），與橢圓只有一個公共點的直線為y=t（x-x₀）+y₀，
則

y=tx+(y0-tx0) x2 3 +y2=1

，消去y得到x²+3（tx+（y₀-tx₀））²-3=0，
即（1+3t²）x²+6t（y₀-tx₀）x+3（y₀-tx₀）²-3=0，△=[6t（y₀-tx₀）]²-4•（1+3t²）[3（y₀-tx₀）²-3]=0，
經(jīng)過化簡得到：（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+1-y₀²=0，因為x₀²+y₀²=4，所以有（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+（x₀²-3）=0，
設(shè)l₁，l₂的斜率分別為t₁，t₂，因為l₁，l₂與橢圓都只有一個公共點，
所以t₁，t₂滿足上述方程（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+（x₀²-3）=0，
所以t₁•t₂=-1，即l₁，l₂垂直．

點評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的綜合問題，突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高．