Question

12．如圖，已知三棱錐A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB中點，D為PB中點，且△PMB為正三角形．
（Ⅰ）求證：DM⊥平面BPC
（Ⅱ）求證：平面ABC⊥平面APC．
（Ⅲ）若BC=4，AB=20，求三棱錐D-BCM的體積．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得DM⊥PB，由AP⊥PC，DM∥AP可得DM⊥PC，故DM⊥平面PBC；
（2）由DM⊥平面PBC，AP∥DM得AP⊥平面PBC，故AP⊥BC，結(jié)合AC⊥BC，可證BC⊥平面APC，從而平面ABC⊥平面APC；
（3）由M為AB中點和等邊三角形的性質(zhì)可求出DM，PB，進而求出底面△BCD的面積，代入體積公式求出．

解答 證明：（1）∵DM是△APB的中位線，∴DM∥AP，又∵AP⊥PC，∴DM⊥PC，
∵△PMB為正三角形，∴DM⊥PB，又∵PB?平面BPC，PC?平面BPC，PB∩PC=P，
∴DM⊥平面BPC．
（2）∵DM⊥平面BPC，DM∥AP，
∴AP⊥平面BCP，∵BC?平面BCP，
∴BC⊥AP，又∵BC⊥AC，AP?平面PAC，AC?平面APC，AP∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，∵BC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面APC．
（3）∵AB=20，∴PB=BM=$\frac{1}{2}$AB=10，DM=5$\sqrt{3}$，∵BC=4，∴PC=$\sqrt{P{B}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{21}$．
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}BC•PC$=4$\sqrt{21}$，∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$S_△PBC=2$\sqrt{21}$．
∴三棱錐D-BCM的體積V=$\frac{1}{3}$S_△BCD•DM=$\frac{1}{3}×2\sqrt{21}×5\sqrt{3}$=10$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了線面垂直的性質(zhì)與判定，面面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．