Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax，a∈R
（1）討論函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單凋性；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}$x³+（a-1）x-alnx，問：在定義域內(nèi)是否存在三個不同的自變量x_i（i=1，2，3），使得f（x_i）-g（x_i）的值相等？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再分類討論求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若定義域內(nèi)存在三個不同的自變量的取值x_i（i=1，2，3），使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等，設(shè)f（x_i）-g（x_i）=m．（i=1，2，3），則對于某一實數(shù)m，方程f（x）-g（x）=m在（0，+∞）上有三個不等的實數(shù)，由此能求出在定義域內(nèi)不存在三個不同的自變量的取值x_i（i=1，2，3）使得f（x_i）-g（x_i）的值恰好都相等．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax，
∴f′（x）=x²-2x+a，
當(dāng)△=4-4a≤0時，即a≥1時，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞增，
當(dāng)△=4-4a＞0時，即a＜1時，
令f′（x）=0，解得x=1-$\sqrt{1-a}$或x=1+$\sqrt{1-a}$，
當(dāng)1-$\sqrt{1-a}$≤0時，即a≤0時，f（x）在（0，1+$\sqrt{1-a}$）上單調(diào)遞減，在（1+$\sqrt{1-a}$，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)1-$\sqrt{1-a}$＞0時，即0＜a＜1時，f（x）在（1-$\sqrt{1-a}$，1+$\sqrt{1-a}$）上單調(diào)遞減，在（0，1-$\sqrt{1-a}$），（1+$\sqrt{1-a}$，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）若存在，設(shè)f（x_i）-g（x_i）=m（i=1，2，3），
則對于某一實數(shù)m方程f（x）-g（x）-m=0在（0，+∞）上有三個不等的實根，
設(shè)F（x）=f（x）-g（x）-m=$\frac{1}{3}$x³-x²+ax-$\frac{1}{3}$x³-（a-1）x+alnx-m=-x²+x+alnx+m，
則函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）-m的圖象與x軸有三個不同交點，
即F′（x）=-2x+1+$\frac{a}{x}$=$\frac{-2{x}^{2}+x+a}{x}$在（0，+∞）有兩個不同的零點，
令h（x）=-2x²+x+a=0有兩個不相等的正實數(shù)根，設(shè)兩個根為x₁，x₂，
∴△=1+4×2a＞0，且x₁•x₂=-$\frac{a}{2}$＞0，
解得-$\frac{1}{8}$＜a＜0，
∴a的取值范圍為（-$\frac{1}{8}$，0）．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法．綜合性強，難度大，具有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．