Question

已知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足到點(diǎn)F（0，1）的距離比到直線l：y=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）動(dòng)點(diǎn)E在直線l上，過(guò)點(diǎn)E分別作曲線C的切線EA、EB，切點(diǎn)為A、B．
（i）求證：直線AB恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（ii）在直線l上是否存在一點(diǎn)E，使得△ABM為等邊三角形（M是線段AB的中垂線與直線l的交點(diǎn)）？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,恒過(guò)定點(diǎn)的直線

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可知，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡為以F（0，1）為焦點(diǎn)，以y=-1為準(zhǔn)線的拋物線，則拋物線方程可求；
（2）（i）設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，得到切線EA、EB的方程，把E點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程，可知x₁，x₂是方程

1

4

x2-

x0

2

x-2=0的兩根．由根與系數(shù)關(guān)系得到x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=-8．
由兩點(diǎn)式寫出AB的方程后代入即可證得直線AB恒過(guò)一定點(diǎn)（0，2）；
（ii）聯(lián)立直線好拋物線方程，根據(jù)△ABM為等邊三角形得到|MN|=

3

2

|AB|，由此求出E點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答： （1）解：由曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足到點(diǎn)F（0，1）的距離比到直線l：y=-2的距離小1，
可知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)F（0，1）的距離與到直線l：y=-1的距離相等．
∴動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡為以F（0，1）為焦點(diǎn)，以y=-1為準(zhǔn)線的拋物線．
方程為x²=4y；
（2）（i）證明：設(shè)E（x₀，-2），y′=

x

2

．
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則切線EA：y-y1=

x1

2

(x-x1)，y=

x1

2

x-

1

4

x12．
同理，切線EB：y=

x2

2

x-

1

4

x22．
把E（x₀，-2）代入切線方程得：

1

4

x12-

x0

2

x1-2=0，

1

4

x22-

x0

2

x2-2=0．
則x₁，x₂是方程

1

4

x2-

x0

2

x-2=0的兩根．
∴x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=-8．
直線AB：y=

x1+x2

4

x-

x1x2

4

=

x0

2

x+2，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，2）；
（ii）解：把y=

x0

2

x+2代入x²=4y得到x²-2x₀x-8=0．
則|AB|=2

1+ x02 4

x02+8

，AB中點(diǎn)N(x0，

x02+4

2

)．
設(shè)M（m，-2），則

x02+8 2

-m+x0

=-

2

x0

，m=

x03+12x0

4

．
則|MN|=

( x03+8x0 4 )2+( x02+8 2 )2

=

3

2

|AB|=

3

2

•2

1+ x02 4

x02+8

．
解得：x02=4，x₀=±2．
∴E（±2，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程的求法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是壓軸題．