Question

6．已知A，B為雙曲線C：x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1上的兩點，若以線段AB為直徑的圓通過坐標原點O，則△AOB面積的最小值為2．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分類討論：①當直線AB斜率不存在時，由橢圓的對稱性，可求原點O到直線的距離；②當直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達定理及點到直線的距離公式，得到原點O到直線的距離為定值，利用三角函數(shù)表示出|OA|，|OB|，進而可求|OA||OB|的最小值，從而可求△AOB面積S的最小值．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①當直線AB斜率不存在時，由雙曲線的對稱性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵以AB為直徑的圓D經(jīng)過坐標原點，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁²-y₁²=0，
∵x₁²-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}$=1，∴|x₁|=|y₁|=$\sqrt{2}$，
∴原點O到直線的距離為d=|x₁|=$\sqrt{2}$．
②當直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，消元可得（2-k²）x²-2kmx-m²-2=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2km}{2-{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-{m}^{2}-2}{2-{k}^{2}}$，
∵以AB為直徑的圓D經(jīng)過坐標原點，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴（1+k²）$\frac{-{m}^{2}-2}{2-{k}^{2}}$+km×$\frac{2km}{2-{k}^{2}}$+m²=0，
∴m²=2（k²+1），
∴原點O到直線的距離為d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
在直角△OAB中，點O到直線AB的距離|OH|=$\sqrt{2}$，設(shè)∠OAH=θ，則∠BOH=θ，
∴|OA|=$\frac{\sqrt{2}}{sinθ}$，|OB|=$\frac{\sqrt{2}}{cosθ}$，
∴|OA||OB|=$\frac{4}{sin2θ}$，
∴2θ=90°，即時，|OA||OB|取得最小值為4，
∴△AOB面積S的最小值為2．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查圓與橢圓的綜合，聯(lián)立方程，利用韋達定理是解題的關(guān)鍵．