Question

給出下列四個命題：
①動點(diǎn)P到A（-5，0）的距離與它到B（5，0）距離的差等于6，則點(diǎn)P的軌跡是雙曲線；
②“直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的必要不充分條件；
③直線l交橢圓3x²+4y²=48于A，B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M（2，1），則l的斜率為-

3

2

；
④已知動圓P過定點(diǎn)A（-3，0），并且與定圓B：（x-3）²+y²=64內(nèi)切，則動圓的圓心P的軌跡是橢圓．
其中正確的命題為

 

（只填正確命題的序號）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,簡易邏輯

分析：①，深刻理解雙曲線的定義，中“雙”的含義，可判斷①；
②，利用充分必要條件的概念及雙曲線中與漸近線平行的直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)的性質(zhì)可判斷②；
③，利用“點(diǎn)差法”可求得直線l交橢圓3x²+4y²=48于A，B兩點(diǎn)的直線AB的斜率，可判斷③；
④，依題意知，動圓的圓心P滿足|PA|+|PB|=8＞|AB|=6，利用橢圓的定義，可判斷④．

解答： 解：對于①，動點(diǎn)P到A（-5，0）的距離與它到B（5，0）距離的差等于6，則點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支，不是完整的雙曲線（兩支），故①錯誤；
對于②，直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)，則該直線可能與雙曲線相交（與漸近線平行），也可能與雙曲線相切，故充分性不成立；
反之，直線與雙曲線相切，則直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)，正確，即必要性成立；
所以“直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的必要不充分條件，即②正確；
對于③，直線l交橢圓3x²+4y²=48于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
則3x₁²+4y₁²=48，3x₂²+4y₂²=48，
兩式相減得：3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，AB的中點(diǎn)為M（2，1），
所以，12（x₁-x₂）+8（y₁-y₂）=0，即k=

y1-y2

x1-x2

=-

12

8

=-

3

2

，l的斜率為-

3

2

，即③正確；
對于④，已知動圓P過定點(diǎn)A（-3，0），并且與定圓B：（x-3）²+y²=64內(nèi)切，則動圓的圓心P滿足|PA|+|PB|=8＞|AB|=6，
所以，點(diǎn)P的軌跡是橢圓，即④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)的綜合應(yīng)用，著重考查雙曲線與橢圓的定義的理解與應(yīng)用，考查“點(diǎn)差法”求直線的斜率，考查轉(zhuǎn)化思想．