Question

已知雙曲線的漸近線方程為2x±3y=0．
（1）若雙曲線經(jīng)過P（

6

，2），求雙曲線方程；
（2）若雙曲線的焦距是2

13

，求雙曲線方程；
（3）若雙曲線頂點(diǎn)間的距離是6，求雙曲線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由于雙曲線的漸近線方程為2x±3y=0，則可設(shè)雙曲線方程為4x²-9y²=k（k≠0），則代入P的坐標(biāo)，可得雙曲線方程；
（2）討論焦點(diǎn)位置，再由焦距，即可得到k的方程，解得即可得到雙曲線方程；
（3）討論焦點(diǎn)位置，再由頂點(diǎn)間的距離，得到k的方程，解得即可得到雙曲線方程．

解答： 解：（1）由于雙曲線的漸近線方程為2x±3y=0，
則可設(shè)雙曲線方程為4x²-9y²=k（k≠0），
則代入P的坐標(biāo)，可得4×6-9×4=k，即k=-12，
則雙曲線方程為：

3y2

4

-

x2

3

=1；
（2）若焦點(diǎn)在x軸上，則設(shè)雙曲線方程為4x²-9y²=k（k＞0），
即為

x2

k 4

-

y2

k 9

=1，則c²=

k

4

+

k

9

=

13k

36

，由于2c=2

13

，即c²=13，
解得，k=36，即有

x2

9

-

y2

4

=1；
若焦點(diǎn)在y軸上，則設(shè)雙曲線方程為4x²-9y²=k（k＜0），
即為

y2

- k 9

-

x2

- k 4

=1．則c²=-（

k

4

+

k

9

）=-

13k

36

，由于2c=2

13

，即c²=13，
解得，k=-36，即有

y2

4

-

x2

9

=1；
（3）若焦點(diǎn)在x軸上，則設(shè)雙曲線方程為4x²-9y²=k（k＞0），
即為

x2

k 4

-

y2

k 9

=1，由于2a=6，即a=3，則

k

4

=9，k=36，
即有

x2

9

-

y2

4

=1；
若焦點(diǎn)在y軸上，則設(shè)雙曲線方程為4x²-9y²=k（k＜0），
即為

y2

- k 9

-

x2

- k 4

=1．由于2a=6，即a=3，則-

k

9

=9，k=-81．
即有

y2

9

-

4x2

81

=1．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線方程和性質(zhì)，考查分類討論的思想方法和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．