Question

8．已知函數$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}+x+sinx$，若正實數a，b滿足f（4a）+f（b-9）=0，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值為1．

Answer 1

分析 根據題意，由f（x）的解析式分析f（x）與f（-x）的關系，可得函數f（x）為奇函數，又由f（4a）+f（b-9）=0，分析可得4a+b=9，對于$\frac{1}{a}+\frac{1}$，將其變形可得$\frac{1}{a}+\frac{1}$=$\frac{1}{9}$（4a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）=$\frac{1}{9}$（5+$\frac{a}$+$\frac{4a}$），由基本不等式的性質分析可得$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值，即可得答案．

解答 解：根據題意，對于函數$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}+x+sinx$，
則有$f（-x）=\frac{{{2^（-x）}-1}}{{{2^（-x）}+1}}+（-x）+sin（-x）$=-$\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}-x-sinx$=-f（x），
則函數f（x）為奇函數，
y=x+sinx的導數為y′=1+cosx≥0，函數y單調遞增，又$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$在R上遞增，
則f（x）在R上遞增，
若正實數a，b滿足f（4a）+f（b-9）=0，必有4a+b=9，
則$\frac{1}{a}+\frac{1}$=$\frac{1}{9}$（4a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）=$\frac{1}{9}$（5+$\frac{a}$+$\frac{4a}$）≥$\frac{1}{9}$（5+4）=1；
即$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最小值為1；
故答案為：1．

點評 本題考查函數奇偶性的應用以及基本不等式的性質及應用，關鍵是分析得到4a+b=9．