Question

19．設(shè)F為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的右焦點，若OF的垂直平分線與漸近線在第一象限內(nèi)的交點到另一條漸近線的距離為$\frac{1}{2}|OF|$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $2\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 求得交點坐標，利用點到直線的距離公式可知：$\frac{丨\frac{bc}{2}+\frac{bc}{2}丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{c}{2}$，即可求得4a²=3c²，利用雙曲線的離心率即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）漸近線方程y=±$\frac{a}$x，
由OF的垂直平分線為x=$\frac{c}{2}$，將x=$\frac{c}{2}$，代入y=$\frac{a}$x，則y=$\frac{bc}{2a}$，
則交點坐標為（$\frac{c}{2}$，$\frac{bc}{2a}$），
由（$\frac{c}{2}$，$\frac{bc}{2a}$），到y(tǒng)=-$\frac{a}$x，即bx+ay=0的距離d=$\frac{丨\frac{bc}{2}+\frac{bc}{2}丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{1}{2}|OF|$=$\frac{c}{2}$，
解得：c=2b=2$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$，即4a²=3c²，
則雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．