Question

已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足（1）x＞1時(shí)，f（x）＜0；（2）f（

1

2

）=1；（3）對任意的x、y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），求不等式f（x）+f（5-x）≥-2的解集．

Answer 1

分析：利用條件（1）（3）推出函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減，注意到f（4）=-2，利用函數(shù)的單調(diào)性解出不等式．

解答：解：需先研究y=f（x）的單調(diào)性，任取x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁＞x₂，則

x1

x2

＞1．
f（x₁）=f（

x1

x2

•x₂）=f（

x1

x2

）+f（x₂），
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

）＜0．
∴f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．
又f（1）=f（1）+f（1），則f（1）=0．
又∵f（1）=f（2）+f（

1

2

）=f（2）+1=0．
∴f（2）=-1．∴f（4）=2f（2）=-2．
∴原不等式等價(jià)于

x＞0 5-x＞0 x(5-x)≤4.

解得{x|0＜x≤1或4≤x＜5}．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的簡單應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是抽象函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．