Question

如圖是在豎直平面內(nèi)的一個(gè)“通道游戲”．圖中豎直線段和斜線段都表示通道，并且在交點(diǎn)處相遇，若豎直線段有第一條的為第一層，有二條的為第二層，…，依此類推．現(xiàn)有一顆小彈子從第一層的通道里向下運(yùn)動(dòng)．記小彈子落入第n層第m個(gè)豎直通道（從左至右）的概率為P（n，m）．（已知在通道的分叉處，小彈子以相同的概率落入每個(gè)通道）
（Ⅰ）求P（2，1），P（3，2）的值，并猜想P（n，m）的表達(dá)式．（不必證明）
（Ⅱ）設(shè)小彈子落入第6層第m個(gè)豎直通道得到分?jǐn)?shù)為ξ，其中ξ=

4-m，1≤m≤3 m-3，4≤m≤6

，試求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)小彈子以相同的概率落入每個(gè)通道，在每一個(gè)分叉處小球落入那一個(gè)通道的概率是相同的，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式得到結(jié)果，推出具有一般性的結(jié)論．
（Ⅱ）根據(jù)題意知變量ξ的可能取值是3，2，1，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和前一問做出的概率公式，寫出變量對(duì)應(yīng)的概率和分布列，求出期望值．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，
P（2，1）=

C

0 1

(

1

2

)0(

1

2

)1=

1

2

P（3，2）=

C

1 2

(

1

2

)1(

1

2

)1=

1

2

∴P（m，n）=

c m-1 n-1

2n-1

（Ⅱ）由題意知變量ξ的可能取值是3，2，1
P（ξ=3）=

2 C 0 5

25

=

2

32

，
P（ξ=2）=

2•C 1 5

25

=

10

32

，
P（ξ=1）=

2 C 2 5

25

=

20

32

∴ξ的分布列是

ξ	3	2	1
P	2 32	10 32	20 32

∴Eξ=3×

2

32

+2×

10

32

+1×

20

32

=

23

16

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，考查歸納推理，本題的題意比較好，容易引起學(xué)生的興趣．