Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x-a}{（x+a）^{2}}$．
（Ⅰ）若f′（a）=1，求a的值；
（Ⅱ）設(shè)a≤0，若對于定義域內(nèi)的任意x₁，總存在x₂使得f（x₂）＜f（x₁），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a的方程，解出即可；（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為f（x）不存在最小值，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)有無最小值，從而確定a的范圍即可．

解答 （Ⅰ）解：函數(shù)y=f（x）的定義域D={x|x∈R且x≠-a}，
由題意，f′（a）有意義，所以a≠0．
求導(dǎo)，得f′（x）=-$\frac{（x+a）（x-3a）}{{（x+a）}^{4}}$．…（3分）
所以f′（a）=$\frac{1}{{4a}^{2}}$=1，解得：a=±$\frac{1}{2}$．…（5分）
（Ⅱ）解：“對于定義域內(nèi)的任意x₁，總存在x₂使得f（x₂）＜f（x₁），
等價于“f（x）不存在最小值”．                            …（6分）
①當(dāng)a=0時，
由f（x）=$\frac{1}{x}$，得f（x）無最小值，符合題意．                    …（8分）
②當(dāng)a＜0時，
令f′（x）=0，得x=-a 或x=3a．…（9分）
隨著x的變化時，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，3a）	3a	（3a，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	-	0	+	不存在	-
f（x）	↘	極小	↗	不存在	↘

…（11分）
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，3a），（-a，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間為（3a，-a）．
因?yàn)楫?dāng)x＞a時，f（x）=$\frac{x-a}{{（x+a）}^{2}}$＞0，當(dāng)x＜a時，f（x）＜0，所以f（x）_min=f（3a）．
所以當(dāng)x₁=3a時，不存在x₂使得f（x₂）＜f（x₁）．
綜上所述，a的取值范圍為a∈{0}．…（13分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．