Question

18．函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{3}+x}{{x}^{4}+6{x}^{2}+1}$+1的最大值與最小值的乘積為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{7}{9}$
• C． $\frac{15}{16}$
• D． $\frac{17}{16}$

Answer 1

分析 求導f′（x）=$\frac{（3{x}^{2}+1）（{x}^{4}+6{x}^{2}+1）-（{x}^{3}+x）（4{x}^{3}+12x）}{（{x}^{4}+6{x}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{-（{x}^{2}-1）^{3}}{{（x}^{4}+6{x}^{2}+1）^{2}}$，從而利用導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的最值即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{x}^{3}+x}{{x}^{4}+6{x}^{2}+1}$+1，
∴f′（x）=$\frac{（3{x}^{2}+1）（{x}^{4}+6{x}^{2}+1）-（{x}^{3}+x）（4{x}^{3}+12x）}{（{x}^{4}+6{x}^{2}+1）^{2}}$
=$\frac{-（{x}^{2}-1）^{3}}{{（x}^{4}+6{x}^{2}+1）^{2}}$，
故f（x）在（-∞，-1）上是減函數(shù)，
在（-1，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)
且x→-∞時，f（x）→1；x→+∞時，f（x）→1；
而f（-1）=$\frac{-1-1}{1+6+1}$+1=$\frac{3}{4}$，
f（1）=$\frac{1+1}{1+6+1}$+1=$\frac{5}{4}$，
故f（-1）f（1）=$\frac{15}{16}$，
故選：C．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及轉(zhuǎn)化思想的應用，同時考查了分類討論的思想應用．