Question

15．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點F作平行于漸近線的兩直線與雙曲線分別交于A、B兩點，若|AB|=2a，則雙曲線離心率e的值所在區(qū)間為（　�。�

• A． （1，$\sqrt{2}$）
• B． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）
• C． （$\sqrt{3}$，2）
• D． （2，$\sqrt{5}$）

Answer 1

分析 求得雙曲線的漸近線方程，由兩直線平行的條件可得平行直線的方程，聯(lián)立解得交點A，B的坐標(biāo)，可得AB的長，結(jié)合a，b，c的關(guān)系和離心率公式，可得e的方程，運用零點存在定理，進而得到離心率的范圍．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
設(shè)焦點F（c，0），由y=$\frac{a}$（x-c）和雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得交點A（$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$，$\frac{b（{a}^{2}-{c}^{2}）}{2ac}$），
同理可得B（$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$，-$\frac{b（{a}^{2}-{c}^{2}）}{2ac}$），
即有|AB|=$\frac{b（{c}^{2}-{a}^{2}）}{ac}$=2a，
由b²=c²-a²，由e=$\frac{c}{a}$，可得4e²=（e²-1）³，
由f（x）=（x²-1）³-4x²，可得f′（x）=6x（x²-1）-8x＞0，x＞1，f（x）遞增．
又f（2）＞0，f（$\sqrt{3}$）＜0，
可得$\sqrt{3}$＜e＜2．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運用漸近線方程和平行線的聯(lián)立，以及離心率公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．