Question

某城市2002年末糧食儲備量為100萬噸，預計此后每年耗用上一年末糧食儲備量的5%，并且每年新增糧食儲備量均為x萬噸、
（I）記2002年末的糧食儲備量為a₁萬噸，以后各年末的糧食儲備量依次為a₂萬噸，a₃萬噸，…、寫出a₁，a₂，a₃和a_n（n∈N）的表達式；
（II）受條件限制，該城市的糧食儲備量不能超過150萬噸，那么每年新增糧食儲備量不應超過多少萬噸？

Answer 1

（I）解：a₁=100，a₂=0.95×100+x，a₃=0.95a₂+x=0.95²×100+0.95x+x（3分）
對于n＞2，有a_n=0.95a_n-1+x=0.95²×a_n-2+（1+0.95）x
∴
=20x+（100-20x）•0.95^n-1（6分）
（II）解：當100-20x≥0，即x≤5時，a_n+1≤a_n≤≤a₂≤a₁=100；（8分）
當100-20x＜0，即x＞5時，
并且數(shù)列a_n的逐項增加，可以任意靠近20x．
因此，如果要求糧食儲備不超過150萬噸，則a_n＜150，即20x≤150
∴x≤0，75．所以，每年新增糧食儲備量不應超過7.5萬噸（12分）
分析：（I）由題設知a₁=100，a₂=0.95×100+x，a₃=0.95a₂+x=0.95²×100+0.95x+x.=20x+（100-20x）•0.95^n-1．
（II）當100-20x≥05時，a_n+1≤a_n≤…≤a₂≤a₁=100；當100-20x＜0時，．由此可以導出每年新增糧食儲備量不應超過7.5萬噸．
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．