Question

設(shè)函數(shù)，其中，為正整數(shù)，，，均為常數(shù)，曲線在處的切線方程為.

（1）求，，的值；

（2）求函數(shù)的最大值；

（3）證明：對任意的都有.（為自然對數(shù)的底）

 

Answer 1

（1）;（2）;（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）在切點處的的函數(shù)值 ，就是切線的斜率為，可得；根據(jù)切點適合切線方程、曲線方程，可得，.

（2）求導(dǎo)數(shù)，求駐點，討論區(qū)間函數(shù)單調(diào)性，確定最值.

（3）本小題有多種思路，一是要證對任意的都有只需證；

二是令，利用導(dǎo)數(shù)確定，

轉(zhuǎn)化得到．

令，證明．

（1）因為， 1分

所以 ，又因為切線的斜率為，所以 2分

，由點（1,c）在直線上，可得，即 3分

4分

（2）由（1）知，，所以

令，解得，即在（0，+上有唯一零點 5分

當(dāng)0<<時，，故在（0，）上單調(diào)遞增； 6分

當(dāng)>時，，故在（，+上單調(diào)遞減； 7分

在（0，+上的最大值=== 8分

（3）證法1：要證對任意的都有只需證

由（2）知在上有最大值，= ，故只需證 9分

，即 ① 11分

令，則，①即 ② 13分

令，則

顯然當(dāng)0<t<1時，，所以在（0，1）上單調(diào)遞增，

所以，即對任意的 ②恒成立，

所以對任意的都有 14分

證法2：令，則． 10分

當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減；

而當(dāng)時， ，故在上單調(diào)遞增．

在上有最小值，．

，即. 12分

令，得，即，所以，即.

由（2）知，，故所證不等式成立． 14分

考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值、證明不等式，轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類討論思想，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題.