Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1，}&{x＜1}\\{{2}^{x}-2，}&{x≥1}\end{array}\right.$，g（x）=$\frac{1}{x}$，若對(duì)任意x∈[m，+∞）（m＞0），總存在兩個(gè)x₀∈[0，2]，使得f（x₀）=g（x），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． （0，1]
• C． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （0，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 由分段函數(shù)解析式可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上滿足一個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)兩個(gè)自變量的函數(shù)值的集合A，求出函數(shù)g（x）在[m，+∞）（m＞0）上的值域B，由B是A的子集求解．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1，}&{x＜1}\\{{2}^{x}-2，}&{x≥1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）∈[1，0），當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）∈[0，2]．
∴一個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)兩個(gè)自變量的函數(shù)值的范圍為（0，1]．
g（x）=$\frac{1}{x}$在[m，+∞）（m＞0）上為減函數(shù)，最大值為$\frac{1}{m}$．
∴g（x）的值域?yàn)閇0，$\frac{1}{m}$]．
要使對(duì)任意x∈[m，+∞）（m＞0），總存在兩個(gè)x₀∈[0，2]，使得f（x₀）=g（x），
則$\frac{1}{m}≤1$，即m≥1．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，+∞）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，是中檔題．