Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{3}x|，0＜x＜3}\\{\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{10}{3}x+8，x≥3}\end{array}\right.$，若存在實數(shù)a、b、c、d滿足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，則abcd的取值范圍是（21，24），a+b+c+d的取值范圍是（12，$\frac{40}{3}$）．

Answer 1

分析 由題意可得-log₃a=log₃b=$\frac{1}{3}$ c²-$\frac{10}{3}$c+8=$\frac{1}{3}$d²-$\frac{10}{3}$d+8，可得 log₃（ab）=0，ab=1．結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象，在區(qū)間[3，+∞）時，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4 d=6、cd=24．由此求得abcd的范圍；由b=$\frac{1}{a}$，c+d=10，可得a+b+c+d=10+a+$\frac{1}{a}$，由a∈（$\frac{1}{3}$，1），運用單調(diào)性可得所求范圍．

解答 解：由題意可得-log₃a=log₃b=$\frac{1}{3}$ c²-$\frac{10}{3}$c+8=$\frac{1}{3}$ d²-$\frac{10}{3}$d+8，
可得log₃（ab）=0，故ab=1．
結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象，在區(qū)間[3，+∞）上，
令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．
令f（x）=0可得c=4、d=6、cd=24．
故有21＜abcd＜24，
當(dāng)-log₃a=1，解得a=$\frac{1}{3}$，即有$\frac{1}{3}$＜a＜1．
由x≥3時圖象關(guān)于直線x=5對稱，可得c+d=10．
則a+b+c+d=a+$\frac{1}{a}$+2×5=10+a+$\frac{1}{a}$，
由a+$\frac{1}{a}$在（$\frac{1}{3}$，1）遞減，可得a+$\frac{1}{a}$∈（2，$\frac{10}{3}$），
即有a+b+c+d∈（12，$\frac{40}{3}$）．
故答案為：（21，24），（12，$\frac{40}{3}$）．

點評 本題主要考查對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)應(yīng)用，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，以及函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．