Question

15．已知m，x∈R，向量$\overrightarrow{a}$=（x，m），$\overrightarrow$=（m+1，1）．
（1）若|$\overrightarrow{a}$|＞|$\overrightarrow$|（m＞0），求實數(shù)x的取值范圍；
（2）當(dāng)m∈[-1，1]時，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$≤0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量的模的公式，化簡可得x²＞2+2m＞2，解不等式即可得到所求范圍；
（2）由題意可得m+x（m+1）≤0，設(shè)f（m）=m（x+1）+x，可得f（m）≤0在m∈[-1，1]恒成立．則f（-1）≤0，f（1）≤0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（x，m），$\overrightarrow$=（m+1，1），
|$\overrightarrow{a}$|＞|$\overrightarrow$|（m＞0），即為|$\overrightarrow{a}$|²＞|$\overrightarrow$|²（m＞0），
即有x²+m²＞1+m²+2m+1，
即為x²＞2+2m＞2，
解得x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$；
（2）當(dāng)m∈[-1，1]時，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$≤0恒成立，
即有m+x（m+1）≤0，
設(shè)f（m）=m（x+1）+x，
可得f（m）≤0在m∈[-1，1]恒成立．
則f（-1）≤0，f（1）≤0，即有x-x-1≤0，x+1+x≤0，
解得x≤-$\frac{1}{2}$．
可得實數(shù)x的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量模的公式的運(yùn)用，以及不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．