Question

13．過(guò)拋物線(xiàn)C：y²=4x的焦點(diǎn)F作直線(xiàn)l交C于A，B兩點(diǎn)，則|AF|+2•|BF|的最小值是3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 將直線(xiàn)方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及拋物線(xiàn)的性質(zhì)求得$\frac{1}{丨AF丨}$+$\frac{1}{丨BF丨}$=1，利用基本不等式的性質(zhì)，即可求得|AF|+2•|BF|的最小值．

解答 解：拋物線(xiàn)C：y²=4x的焦點(diǎn)F坐標(biāo)（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1．
設(shè)過(guò)F點(diǎn)的直線(xiàn)方程為y=k（x-1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化簡(jiǎn)后為：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
則x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
根據(jù)拋物線(xiàn)性質(zhì)可知，|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1
∴$\frac{1}{丨AF丨}$+$\frac{1}{丨BF丨}$=$\frac{{x}_{1}+1+{x}_{2}+1}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{1}{x}_{2}+1}$=1，
∴$\frac{1}{{|{AF}|}}+\frac{1}{{|{BF}|}}=\frac{2}{p}=1$，
|AF|+2•|BF|=$（{|{AF}|+2•|{BF}|}）•（{\frac{1}{{|{AF}|}}+\frac{1}{{|{BF}|}}}）$=$3+2•\frac{{|{BF}|}}{{|{AF}|}}+\frac{{|{AF}|}}{{|{BF}|}}≥3+2\sqrt{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2丨BF丨}{丨AF丨}$=$\frac{丨AF丨}{丨BF丨}$時(shí)，即丨AF丨=1+$\sqrt{2}$，丨BF丨=$\frac{\sqrt{2}（1+\sqrt{2}）}{2}$時(shí)，取等號(hào)，
∴|AF|+2•|BF|的最小值3+2$\sqrt{2}$，
故答案為：3+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，拋物線(xiàn)的性質(zhì)以及基本不等式的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．