Question

19．如圖．在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y=x²+c的圖象拋物線交x軸于點(diǎn)A、B，（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交點(diǎn)C（0，-3）．
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，△ADC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）若將△OBC繞平面內(nèi)某一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△O′B′C，點(diǎn)O′，B′均落在此拋物線上，求此時(shí)O′的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）通過求函數(shù)解析式，求出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度，得到∠ABC的正切值，進(jìn)而求出∠ABC度數(shù)；
（2）求出直線AC的方程和線段AC的長(zhǎng)度，根據(jù)面積得出D到直線AC的距離，列方程組解出D的坐標(biāo)；
（3）利用拋物線解析式設(shè)出O′，通過旋轉(zhuǎn)60°，求出點(diǎn)B′的坐標(biāo)，將點(diǎn)B′代入拋物線解析式即可求出．

解答 解：（1）把C（0，-3）代入f（x）得c=-3，∴f（x）=x²-3．
令f（x）=0得x²-3=0，解得x=±$\sqrt{3}$，∴A（-$\sqrt{3}$，0），B（$\sqrt{3}$，0）．
∴tan∠ABC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，∴∠ABC=60°．
（2）由拋物線的對(duì)稱性可知AC=BC，∴△ABC是等邊三角形，∴AC=BC=2$\sqrt{3}$．
∵△ADC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，∴點(diǎn)D到AC的距離為$\frac{3}{2}$．
直線AC的方程為y=-$\sqrt{3}$x-3，即$\sqrt{3}$x+y+3=0．
設(shè)D（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-3}\\{\frac{|\sqrt{3}x+y+3|}{2}=\frac{3}{2}}\\{x＞0}\\{y＜0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{3-3\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$．∴D點(diǎn)坐標(biāo)為D（$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$）．
（3）設(shè)點(diǎn)O′（m，m²-3），∵O′，B′分別是由O，B（$\sqrt{3}$，0）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到的，
∴B′（m+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，m²-$\frac{9}{2}$），∴m²-$\frac{9}{2}$=（m+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²-3，解得m=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴O′坐標(biāo)為（-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{21}{16}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，直線與圓錐曲線的關(guān)系，旋轉(zhuǎn)變換，屬于中檔題．