Question

設(shè)復(fù)數(shù)z=cosθ+isinθ（0≤θ≤180°），復(fù)數(shù)z，（1+i）z，2

.

z

在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)分別是P，Q，R．當(dāng)P，Q，R不共線時(shí)，以線段PQ，PR為兩邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為S，點(diǎn)S到原點(diǎn)距離的最大值是

3

．

Answer 1

分析：由向量知識(shí)求得

OS

=（2cosθ-sinθ）+i（cosθ-2sinθ），故|

OS

|²=5-4sin2θ≤9．由此能求出點(diǎn)S到原點(diǎn)距離的最大值．

解答：解：

OS

=

OP

+

PQ

+

PR

=

OP

+

OQ

-

OP

+

OR

-

OP

=

OQ

+

OR

-

OP

=（1+i）z+2

.

z

-z=iz+2

.

z

=（2cosθ-sinθ）+i（cosθ-2sinθ）．
∴|

OS

|²=5-4sin2θ≤9．
即|

OS

|≤3，當(dāng)sin2θ=1，
即θ=

π

4

時(shí)，|

OS

|=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的代數(shù)表示法及其幾何意義的合理運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．