Question

如圖，已知橢圓C₁的中點(diǎn)在原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸左、右端點(diǎn)M，N在x軸上，橢圓C₂的短軸為MN，且C₁，C₂的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C₁交于兩點(diǎn)，與C₂交于兩點(diǎn)，這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D．若存在直線l，使得BO∥AN，求橢圓離心率的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：依題意可設(shè)C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，C₂：

b2y2

a4

+

x2

a2

=1，（a＞b＞0）．設(shè)直線l：x=t（|t|＜a），t≠0時(shí)，由BO∥AN，得t=-

ab2

a2-b2

=

1-e2

e2

•a．由此能求出橢圓離心率的取值范圍．

解答： 解：因?yàn)镃₁，C₂的離心率相同，
故依題意可設(shè)
C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，C₂：

b2y2

a4

+

x2

a2

=1，（a＞b＞0）．
設(shè)直線l：x=t（|t|＜a），t≠0時(shí)，
BO∥AN，當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率k_BO與AN的斜率k_AN相等，
即

b a a2-t2

t

=

a b a2-t2

t-a

，
解得t=-

ab2

a2-b2

=

1-e2

e2

•a．
因?yàn)閨t|＜a，又0＜e＜1，
所以

1-e2

e2

＜1，解得

2

2

＜e＜1．
故答案為：（

2

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線斜率相等的合理運(yùn)用．