Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BCD=135°，側面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，點M在線段PD上．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面PAC；
（Ⅱ）當二面角M-EF-D的大小為60°時，求$\frac{PM}{PD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出EF⊥AC，PA⊥EF，由此能證明EF⊥平面PAC．
（Ⅱ）推導出AP、AB、AC兩兩垂直，以A 為原點，以AB、AC、AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出$\frac{PM}{PD}$的值．

解答 證明：（Ⅰ）在平行四邊形ABCD中，∵AB=AC，∠BCD=135°，
∴AB⊥AC，E、F分別是BC、AD的中點，∴EF∥AB，
∴EF⊥AC，
∵側面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，∴PA⊥底面ABCD，
又∵EF?底面ABCD，∴PA⊥EF，
又∵PA∩AC=A，PA?平面PAC，PC?平面PAC，
∴EF⊥平面PAC．
解：（Ⅱ）∵側面PAB⊥底面ABCD，且交線為AB，PA⊥AB，
∴PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，
∴AP、AB、AC兩兩垂直，以A 為原點，以AB、AC、AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（-2，2，0），E（1，1，0），F(xiàn)（-1，1，0），P（0，0，2），
令$\overrightarrow{PM}$=$λ\overrightarrow{PD}$=（-2λ，2λ，-2λ），λ∈（0，1），
又$\overrightarrow{EP}$=（-1，-1，2），∴$\overrightarrow{EM}$=$\overrightarrow{EP}+\overrightarrow{PM}$=（-1-2λ，2λ，-2λ），λ∈（0，1），
設平面EFM的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
又$\overrightarrow{FE}$=（2，0，0），∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{FE}•\overrightarrow{m}=2x=0}\\{\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{m}=（-1-2λ）x+（-1+2λ）y+（2-2λ）z=0}\end{array}\right.$，
取y=2-2λ，得$\overrightarrow{m}$=（0，2-2λ，1-2λ），
平面EFD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|1-2λ|}{\sqrt{（2-2λ）^{2}+（1-2λ）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
解得$λ=\frac{1+\sqrt{3}}{4}$或$λ=\frac{1-\sqrt{3}}{4}$（舍），
∴$\frac{PM}{PD}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查兩線段比值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，是中檔題．